6. Equações algébricas: definição, raiz, multiplicidade e número de raízes; transformações aditiva e multiplicativa; equações recíprocas; relação entr


6. Equações algébricas: definição, raiz, multiplicidade e número de raízes; transformações aditiva e multiplicativa; equações recíprocas; relação entre coeficientes e raízes. Raízes reais e complexas.

11:06 26.07 Bom dia a todos, estamos aqui novamente para começar a discutir assuntos relacionados a matemática, Como alguns podem ver mudamos o visual do nosso bloog, eu gostei bastante.. estava a um tempo com vontade de colocar um slide e acho que ficou legalzinho . rs.. bem vamos focar um pouco que daqui a pouco tenho que ir dar aula (: começaremos hoje a falar sobre equações algébricas.
DEFINIÇÃO:

Equações algébricas são as equações em que as incógnitas são submetidas apenas às chamadas operações algébricas, ou seja, soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação,utilizando letras e números.


Ideia de função
Relação entre grandezas variáveis

Ex.: Pedro, desejando ir ao teatro, resolveu pedir um táxi. A tarifa do táxi apresentava um preço fixo (bandeirada) de R$ 3,00 mais um valor adicional de R$ 0,30 (trinta centavos) para cada quilômetro rodado. Sabendo que a distância entre a casa de Pedro e o teatro é de 30 quilômetros, vamos analisar matematicamente essa situação:

O preço do táxi (P) em reais e o espaço (S) em quilômetros são duas grandezas variáveis que se relacionam através da fórmula: P = 3,00 + 0,30S. Esse caso representa uma função, pois para cada valor de S, obtemos um único valor correspondente para P.
Assim sendo, podemos dizer que o preço do táxi está em função da quantidade de quilômetros percorridos. A variável S (distância percorrida) é chamada de variável independente; e a variável P (preço total do táxi) é chamada de variável dependente. A fórmula P = 3,00 + 0,30S é chamada de lei de formação ou de associação da função.

PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES

P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes, pois essa equação tem grau 3.
P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini.
P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .

Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os
números 5,3 + 2i e 4 - 3i. Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.

P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .

Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de
multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).

Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero.

P6 - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .

Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada : ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0

Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever:
(x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!).


Equações de 1° Grau

O grau está relacionada a quantidade de soluções que uma equação pode ter, sendo uma equação de 1° grau ela admite uma solução .. e em sua forma reduzida tem a forma de

ax = b

sendo x a incógnita e a e b números reais.




Equação linear


Chamamos de equações lineares as equações do 1º grauque apresentam a forma:Exemplo:1 e 3 são coeficientes das incógnitas





continua mais tarde.

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